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华南理工大学线性代数自学考试大纲(课程代码:02198)

发布:2022-12-24 20:05:04   点击:

Ⅰ课程性质与课程目标



  1. 课程的性质和特点

线性代数课程是高等教育自学考试工科类专业独立本科段考试计划中一门重要的基础理论课;它是为培养满足工科类专业高等本科人才的需要而设置的。线性代数是研究有限维空间线性理论的一门学科,由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域,而且线性问题的处理方法又是许多非线性问题处理方法的基础。因此,本课程所介绍的方法广泛地应用于各个学科。尤其在计算机的使用日益普及的今天,该课程的地位和作用更显得重要。

二、课程目标

通过本课程的自学,使考生系统地学习并获得有关行列式、矩阵、n维向量线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、实二次型的基本知识、必要的基本理论和常用的基本方法。在自学过程中,要求考生切实理解并掌握有关内容的基本概念、基本理论和基本方法,通过学习使自己具有较为熟练的运算能力,能够运用所学的基本概念和基本方法分析和解決相关问题。在此过程中,希望考生注意培养自己的抽象思维能力和逻辑推理能力,不断提高自学能力,并为后继课程的学习提供必要的数学基础。

三、与相关课程的联系和区别

1.与解析几何的联系

线性代数的某些内容与解析几何有着密切的联系,例如向量空间和几何空间、二次型与二次曲面的联系,特别是向量空间Rn中向量的线性运算、向量的线性表出、向量组线性相关或线性无关、向量的内积、向量的长度、向量的正交等概念,都可以在几何空间中找到。

2.与有关后继课程的联系

线性代数是工科类有关专业自学考试计划中技术基础课与专业课的先修课程,它与后继课程有着十分密切的联系,在建立数学模型和数值计算中起着非常重要的作用。因此学好线性代数,奠定一定的数学基础,对以后的学习无疑是十分必要的。

四、课程的重点和难点

本课程的重点是前5章:行列式,矩阵,向量空间,线性方程组和矩阵的相似对角化。

本课程的难点主要集中在第3章向量空间。其中有关向量组线性相关或线性无关的概念和结论、向量组的极大无关组和向量组的秩、向量组的秩与矩阵的秩的关系等,都是初学者较难掌握的内容。此外,行列式的计算、矩阵的初等变换与初等矩阵、矩阵可逆的几个充分必要条件、齐次线性方程组的基础解系、矩阵的特征值和特征向量的计算与性质、方阵的对角化、实二次型的正定性等,也都是初学者可能会感到比较困难。


Ⅱ考核目标


本大纲在考核目标中,按照识记、领会和应用三个层次规定其应达到的能力层次要求。三个能力层次是递升的关系,后者必须建立在前者的基础上。各能力层次的含义是:

识记(I):要求考生能够识别和记忆本课程中有关的数学概念和方法的主要内容(如定义、主要定理和推论、公式、性质、法则、基本计算方法和证明思路等),并能够根据考核的不同要求,做出正确的表述、选择和判断。

领会(Ⅱ):要求考生能够领悟和理解本课程中有关数学概念(如定义、定理、公式、运算法则等)的内涵和外延,能够鉴别关于概念(如向量组线性相关或线性无关)的似是而非的说法理解相关知识的区别和联系,并能够根据考核的不同要求对数学问题进行逻辑推理和论证,做出正确的判断、解释和说明。

应用(Ⅲ):要求考生能够对本课程中的概念、定理、公式、性质、法则等,在熟悉和理解的基础上,综合多个知识点经过分析、计算或推导解决稍复杂的一些问题。

特别需要说明的是:试题的难易程度与能力层次有一定的联系但二者不是等同的概念。在各个能力层次中对于不同的考生都存在不同的难度(试题难度分为:易,较易,较难和难4个等级),希望考生不要将二者混淆。


Ⅲ课程内容与考核要求


第1章   行列式


一、学习目的与要求

学习本章,要求了解行列式定义;理解行列式性质,会运用行列式性质化简行列式熟练掌握行列式的计算方法计算3、4阶的数字行列式和具有特殊结构的、简单的n阶行列式;能够利用克拉默法则求解2元或3元线性方程组。

二、课程内容

 1.行列式的定义

 2.行列式的性质

 3.行列式按一行(或一列)展开

 4.克拉默( Cramer)法则

三、考核知识点与考核要求

1.行列式的定义

识记:元素的余子式与代数余子式

领会:上(下)三角形行列式的计算公式

应用:用行列式定义计算含0非常多或结构特殊的行列式

2.行列式的性质

领会:行列式的性质。

应用:利用行列式的性质计算行列式

3.行列式按一行(或一列)展开的

识记:3阶范德蒙德( Vandermonde)行列式。

应用:利用行列式按一行(或一列)展开的方法计算行列式

4.克拉默( Cramer)法则

识记:克拉默法则。

应用:利用克拉默法则求解2元或3元线性方程组

四、本章重点和难点组线性相关

重点:行列式的性质和计算。

难点:n阶行列式的计算

第2章矩阵

一、学习目的与要求

学习本章,要求理解矩阵的概念掌握矩阵的各种运算及运算法则;知道方阵可逆的定义和可逆的几个充分必要条件;会求可逆矩阵的逆矩阵;熟练掌握矩阵的初等变换,理解初等矩阵和初等变换的关系;知道矩阵的秩的定义,会求矩阵的秩。

二、课程内容

1.矩阵的概念

2.矩阵的运算

3.矩阵的分块

4.可逆矩阵

5.矩阵的初等变换与初等矩阵

6.矩阵的秩

三、考核知识点与考核要求

1.矩阵的概念

识记:矩阵的定义;特殊的方阵:上(下)三角形矩阵、对角矩阵、数量矩阵和单位矩阵、对称矩阵和反对称矩阵。

2.矩阵的运算

识记:矩阵的加法、数乘、乘法和转置的定义领会:矩阵的运算法则。

应用:矩阵的各种运算及运算法则;求方阵的方幂和方阵多项式。

3.矩阵的分块

识记:矩阵分块的概念。

领会:分块矩阵的运算。

应用:用分块矩阵的乘法表示线性方程组;分块对角矩阵(准对角矩阵)的行列式。

4.可逆矩阵

识记:矩阵可逆的定义:伴随矩阵的定义以及A=A =∣A∣E;A-1=

=∣A∣A-1

领会:可逆矩阵的性质n阶矩阵A可逆的充分必要条件。

应用:求可逆矩阵的逆矩阵;求解矩阵等式

5.矩阵的初等变换与初等矩阵

识记:矩阵的初等变换的概念初等矩阵的定义和性质;矩阵的等价标准形;矩阵等价的充分必要条件。

领会:初等变换和初等矩阵的关系。

应用:用初等行变换法求可逆矩阵的逆矩阵,用初等行变换法求解形如AX=B的矩阵等式。

6.矩阵的秩

识记:矩阵的k阶子式;矩阵秩的定义;阶梯形矩阵的概念;初等变换不改变矩阵的秩。

领会:若A为n阶可逆矩阵,对于任意n×s矩阵和m×n矩阵C,有,有r(AB)= r (B);

r(CA)=r (C)。

应用:用初等行变换求矩阵的秩。

四、本章重点和难点

重点:矩阵的运算及运算法则;可逆矩阵的定义、性质和计算;矩阵的初等变换和初等矩阵的关系。

难点:矩阵的分块;矩阵的秩。


第3章向量空间

一、学习目的与要求的

学习本章,要求知道n维向量和n维向量空间Rn的概念;知道向量组线性组合和将向量线性表出的概念;理解向量组线性相关或线性无关的概念,并能够判断给定的向量组是否线性相关;理解向量组的极大无关组的定义和向量组的秩的定义,会求给定向量组的极大无关组和秩:知道向量组的秩和矩阵的秩的关系;在两个向量内积、两个向量正交概念的基础上,掌握Rn的基和标准正交基的概念;熟练掌握施密特正交化方法;知道正交矩阵的定义。

二、课程内容

1.n维向量空间Rn

2.向量间的线性关系

3.向量组的极大线性无关组

4.向量组的秩与矩阵的秩

5. Rn的标准正交基

三、考核知识点与考核要求

1.n维向量空间Rn

识记:n维列向量与行向量;向量的线性运算;n维向量空间Rn的概念; Rn的子空间

2.向量间的线性关系的

识记:向量组的线性组合,一个向量由一个向量组线性表出

领会:向量组线性相关或线性无关的定义、充分条件,必要条件几何意义。

例如,向量组线性相关的充分条件有:

(1)包含零向量的向量组线性相关;

(2)如果向量组中有两个向量成比例,则向量组线性相关;

(3)部分相关;

(4)任意n+1个n维向量线性相关;

(5)如果向量组中向量的个数大于向量的维数,则向量组线性相关;

等等。

应用:判断或证明向量组线性相关或线性无关;将给定的向量由向量组线性表出。

识记:两个向量组等价;向量组的极大线性无关组与向量组等价向量组的两个极

3.向量组的极大线性无关组

识记:两个向量组的等价;向量组的极大线性无关组与向量组等价;向量组的两个极大线性无关等价。

领会:向量组的极大线性无关组的定义及相关结论

设向量组,,… ,可由向量组,,… ,线性表出,以下结论都成立:

如果s>t,则向量组,,… ,线性相关

(2)如果,,… ,线性无关,则s≤t。

(3)r(,,… ,) ≤r(,,… ,

应用:求给定向量组的一个极大线性无关组和秩,并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出。

4.向量组的秩与矩阵的秩

识记:矩阵的行秩与列秩;矩阵的行秩(列秩)等于矩阵的秩;初等变换不改变矩阵的行秩和列秩。

应用:求向量组的秩或矩阵的秩。

5. Rn的标准正交基

识记:向量的内积及其性质;两个向量正交;向量的长度及其性质;单位向量和向量的单位化;正交向量组;正交矩阵的定义和性质。

领会: Rn的基与标准正交基;向量在Rn的一组基下的坐标。

应用:施密特正交化方法。

四、本章重点和难点

重点:向量组线性相关或线性无关;向量组的极大线性无关组与秩;向量的内积与施密特正交化方法。

难点:向量组线性相关或线性无关的判断与证明;向量组的极大线性无关组与秩。

第4章  线性方程组

一、学习目的与要求

学习本章,要求理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件,会判断齐次线性方程组是否有非零解,掌握齐次线性方程组的基础解系与通解的求法,理解非齐次线性方程组有解的充分必要条件,会判断非齐次线性方程组解的情况(无解、有惟一解、有无穷解),掌握非齐次线性方程组解的结构与通解的求法。

二、课程内容

1.高斯消元法

2.齐次线性方程组

3.非齐次线性方程组量

三、考核知识点与考核要求

1.高斯消元法

识记:高斯消元法与矩阵初等变换。

2.齐次线性方程组

识记:齐次线性方程组解的性质与解空间,

应用:用初等行变换求齐次线性方程组的基础解系与通解。

3.非齐次线性方程组

领会:非齐次线性方程组有解的充分必要条件,非齐次线性方程组无解、有惟一解、有无穷解的判别。

应用:非齐次线性方程组解的结构与通解,用初等行变换求解非齐次线性方程组。

四、本章重点和难点

重点:线性方程组解的结构与求解。

难点:求解带参数的线性方程组。

第5章  矩阵的相似对角化

一、学习目的与要求

学习本章,要求理解矩阵特征值与特征向量的概念与性质、相似矩阵的概念与性质会求矩阵的特征值与特征向量。掌握矩阵可相似对角化的条件,掌握将矩阵化为对角矩阵的方法。理解实对称矩阵的特征值与特征向量的性质,掌握用正交矩阵将实对称矩阵化为相似对角矩阵的方法。

二、课程内容

1.特征值与特征向量

2.相似矩阵与矩阵对角化

3.实对称矩阵的对角化

三、考核知识点与考核要求

1.特征值与特征向量

识记:特征值与特征向量的概念。

领会:特征值与特征向量的性质。

应用:求矩阵的特征值与特征向量。

2.相似矩阵与矩阵对角化

识记:矩阵相似的概念。

领会:相似矩阵的性质。

应用:矩阵可相似对角化的条件,将矩阵化为相似对角矩阵。

3.实对称矩阵的对角化。

领会:实对称矩阵特征值与特征向量的性质。

应用:用正交矩阵将实对称矩阵化为对角矩阵。

四、本章重点和难点

重点:特征值与特征向量的性质,将矩阵化为相似对角矩阵。

难点:实对称矩阵的相似对角化。


第6章  实二次型

一、学习目的与要求

学习本章,要求知道二次型的矩阵表示、秩、标准形与规范形的概念。了解矩阵合同的概念与惯性定理。理解正定二次型与正定矩阵的概念。掌握用正交变换化二次型为标准形的方法,掌握用配方法化二次型为标准形的方法。会判断二次型(矩阵)是否为正定二次型(矩阵)。

二、课程内容

1.二次型及其矩阵表示

2.二次型的标准形

3.正定二次型与正定矩阵

三、考核知识点与考核要求

1.二次型及其矩阵表示

识记:二次型的概念。

领会:二次型的矩阵与秩的概念。

应用:求二次型的矩阵表示。

2.二次型的标准形

识记:矩阵合同的概念。

领会:二次型的标准形与规范形,惯性定理。

应用:用正交变换化二次型为标准形,用配方法化二次型为标准形。

3.正定二次型与正定矩阵

识记:正定二次型与正定矩阵,半正定(负定、半负定二次型与半正定(负定、半负定)矩阵的概念。

领会:二次型为正定二次型的充分必要条件。

应用:判断二次型(矩阵)是否为正定二次型(矩阵)

四、本章重点和难点

重点:化二次型为标准形,判断二次型的正定性。

难点:用正交变换化二次型为标准形。


Ⅳ关于大纲的说明与考核实施要求


一、自学考试的目的和作用

课程自学考试大纲是根据专业自学考试计划的要求,结合自学考试的特点而确定的。其目的是对个人自学、社会助学和课程考试命题进行指导和规定,区还()意课程自学考试大纲明确了课程学习的内容以及深广度,规定了课程自学考试的范围和标准。因此,它是编写自学考试教材和辅导书的依据,是社会助学组织进行自学辅导的依据,是自学者学习教材、掌握课程内容知识范围和程度的依据,也是进行自学考试命题的

二、课程自学考试大纲与教材的关系

课程自学考试大纲是进行学习和考核的依据,教材是学习掌握课程知识的基本内容与范围,教材的内容是大纲所规定的课程知识和内容的扩展与发挥。课程内容在教材中可以体现一定的深度或难度,但在大纲中对考核的要求一定要适当。

大纲与教材所体现的课程内容应基本一致:大纲里面的课程内容和考核知识点,教材里一般也要有。反过来教材里有的内容,大纲里就不一定体现。

三、关于自学教材

《线性代数》,全国高等教育自学考试指导委员会组编,申亚男、卢刚主编,外语教学与研究出版社出版,2012年版。

四、自学要求和自学方法的指导内容。

本大纲的课程基本要求是依据专业考试计划和专业培养目标而确定的。课程基本要求还明确了课程的基本内容,以及对基本内容掌握的程度。基本要求中的知识点构成了课程内容的主体部分。因此,课程基本内容掌握程度、课程考核知识点是高等教育自学考试考核的主要内容。

为有效地指导个人自学和社会助学,本大纲已指明了课程的重点和难点,在各章节的基本要求中也指明了章节内容的重点和难点。

结合线性代数课程的特点,下面给出几点具体的学习建议,供考生参考。

 (1)搞清要求。在每章内容学习之前,先了解一下大纲中关于本章考核知识点、各知识点的考核要求、自学要求、重点与难点等内容,以便学习时做到心中有数,有的放矢。

 (2)重视基础。线性代数中的概念较多,并且一些概念和相关结论(如向量组线性相关或线性无关等)比较抽象,不易理解和掌握。这就要求考生对定义或定理的文字要逐字仔细阅读,并结合相应的例题和几何直观进行思考和理解,同时注意学习这些概念在相关计算题或证明题中使用的基本方法或基本思路。还要注意不同概念的区别与联系(如行列式与矩阵;矩阵等价关系、相似关系、合同关系等)。一定要熟练掌握各章的基本计算(如行列式计算;矩阵运算;矩阵求逆;方程组求解;施密特正交化方法;特征值和特征向量的计算;矩阵的相似对角化;实对称矩阵的对角化或实二次型的正交标准化等)。

 (3)加强练习。自己动手做一定数量的习题(在这个过程中能发现学习中存在的问题),是学会基本计算和基本方法的根本。要通过例题了解和学习常用的解题方法和解题思路,然后通过自己做题理解和掌握这些方法和思路。要重视作业中发现的问题并及时解决这些问题,不要让问题积累起来以致影响后面内容的学习做题时做到步骤清楚、运算准确、书写及使用数学语言规范、并得出最后结果。

 (4)及时复习。在每章内容学习结東时,要归纳和整理一下本章的基本概念,主要结论以及它们之间的联系,对整章内容有一个整体的了解和把握。同时也应注意与前面各章相关内容的联系(如行列式的值与矩阵的可逆性;矩阵的秩与向量组的秩;行列式的值与对应矩阵行向量组或列向量组的线性相关性;向量组的线性相关与齐次线性方程组的求解;矩阵的特征向量与齐次线性方程组的基础解系;实对称矩阵的对角化与实二次型的正交标准化等)。可以通过一些综合题的练习,理解并逐步掌握相关知识的综合运用方法。

本课程共3学分

各章的学时建议:自学时间包括学习教材和做作业,共需要120~144学时.各章学时安排见下表:

五、应考指导

1.如何学习

很好的计划和组织是你学习成功的法宝。如果你正在接受培训学习,一定要紧跟课程进度、理解所学内容并及时完成作业。可以利用“学习计划表”来监控你的学习进度。在阅读课本时可根据需要做读书笔记,记下基本概念和主要结论。对于需要重点注意的内容,可以用不同颜色的彩笔进行标注。还要学会使用适合的辅导教材,以帮助自己学会并逐步掌握一些较难或综合题目的求解方法。

2.如何考试

卷面整洁非常重要。书写工整、段落与间距合理、卷面赏心悦目有助于教师评分,教师只能为他能看懂的内容打分。看清题目的要求,并根据要求回答所提出的问题

3.如何处理紧张情绪


正确处理对于失败的惧怕,要正面思考。如果可能,请向已经通过该科目考试的考生,了解一些相关的间题和注意事项。在答题前做深呼吸并放松,这有助于头脑清醒、冷静,缓解紧张情绪。在考试前还要注意合理膳食和休息,保持旺盛的精力和体力。

4.如何克服心理障碍

这是一个普遍的问题!如果你在考试中出现这种情况,不妨试试下面的办法:使用“线索”纸条。进入考场之前,将记忆“线索”记在纸条上,但你不能将纸条带入考场。当你阅读试题时,一旦有了思路就快速记下,并按照自己的步调进行答卷。要为每道考题或试卷的各个部分分配合理的时间,并尽可能按此时间安排进行答卷。

六、对社会助学的要求

 (1)应熟知考试大纲对本课程的总体要求和各章的知识点。

 (2)应掌握各知识点要求达到的认知层次,准确理解对各知识点的考核要求

 (3)辅导时应以考试大纲为依据、以指定教材为基础,不要随意增删内容,以免与大纲脱节。

 (4)辅导时应对学习方法进行指导,宜提倡“认真阅读教材,刻苦钻研教材,主动争取帮助,依靠自己学通”的学习方法。

 (5)辅导时要注重基础,在全面学习的基础上,突出重点,以主带次。对考生提出的问题,要积极启发引导,重在揭示数学概念的本质、基本原理和方法,以及各章节内容之间的联系。

 (6)注意对考生能力的培养,特别是自学能力的培养。要引导考生逐步学会独立学习的能力,在自学过程中学会提出问题、分析问题、判断问题、解决问题。

七、对考核内容的说明

本课程要求考生学习和掌握的知识点内容都作为考核的内容。课程中各章的内容均由若干个知识点组成,在自学考试中成为考核的知识点。因此,课程自学考试大纲中所规定的考试内容是以分解为考核知识点的方式给出的。由于各知识点在课程中的地位、作用以及知识自身的特点不同,自学考试将对各知识点分别按三个认知(或叫能力)层次确定其考核要求。

八、关于考试命题的若干规定

 (1)考试的方法为闭卷、笔试。考试时间为150分钟。试题分量以中等水平的考生在规定的时间内能答完全部试题为度。评分采用百分制,60分为及格。考试时只允许带钢笔、圆珠笔、铅笔、三角板和橡皮,答卷必须用钢笔或圆珠笔。

 (2)本大纲各章规定的基本要求、知识点以及知识点下的知识细目,都属于考核的内容。考试命题既要覆盖到章,又要避免面面俱到。要注意突出课程的重点、章节的重点,加大重点内容的覆盖度。

 (3)命题不应有超出大纲中考核知识点范围的题目,考核目标不得高于大纲中所规定的相应的最高能力层次要求。命题应着重考核自学者对基本概念、基本知识、基本方法和基本理论是否了解或掌握。不应出与基本要求不符的偏题或怪题。

 (4)本课程在试卷中对不同能力层次要求的分数比例大致为:识记占20%,领会占40%,应用占40%。

 (5)要合理安排试题的难易程度。试题的难度可分为:易、较易、较难和难4个等级,每份试卷中这4个等级试题分数的比例一般为2:4:3:1。

 (6)课程考试命题的题型有:单项选择题、填空题、计算题和证明题等4种。其中单项选择题和填空题占30分。


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